Основные теоремы о парах сил на плоскости. Сложение и равновесие пар сил на плоскости. Условия равновесия пар сил

Сложение пар производится алгебраическим суммированием их моментов:

М = М 1 + М 2 + …+ М n = ΣМ i

Условие равновесия системы пар, лежащих в одной пло­скости : для равновесия системы пар необходимо чтобы сумма моментов пар равнялась нулю:

ΣМ i = 0 (3.2)

Пример 3.1. Определить момент результирующей пары, эквивалентной системе трех пар, лежащих в одной плоскости (рис. 3.3). Первая пара F 1 = F¢ 1 = 2 кН, плечо h 1 = 1,25 м; вторая пара F 2 = F¢ 2 = 3 кН, плечо h 2 = 2 м; третья пара F 3 = F¢ 3 = 4,5 кН, плечо h 3 = 1,2 м.

Рис. 3.3

Момент силы относительно точки

Момент М о (F) силы F относительно точки О равен произведению силы на плечо. (рис. 3.4, а). Сила F стремится поворачи­вать плечо а вокруг точки О .

М о (F) = F× a, Н×м, (3.3)

где а - плечо силы F.

Плечо силы – этодлина перпенди­куляра а, опущенного из точки на линию действия силы

Рис. 3.4

Центр момента - точка О, относительно которой возникает момент.

Момент по­ложительный , если сила стре­мится вращать тело по часовой стрелке (рис. 3.4, а ), и отри­цательный - против часовой стрелки (рис. 3.4, б ).

Когда линия действия силы проходит через данную точку, момент силы относительно этой точ­ки равен нулю, так как плечо а = 0 (рис. 3.4, в ).

Лекция № 4

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПОРНЫХ РЕАКЦИЙ

Опорные устройства балочных систем

1) Шарнирно-подвижная опора (рис. 4.1, а)- допускает поворот вокруг оси шарнира и линейное перемещение па­раллельно опорной плоскости. Направление опорной реакции - перпендикуляр к опорной плоскости. (рис. 5.1, б).

2) Шарнирно-неподвижная опора (рис, 4.1,б ) - допу­скает только поворот вокруг оси шарнира, но не допускает никаких ли­нейных перемещений. Опорная реакция R A раскладывается на две составляющие - R Ax и R Ay .

3) Жесткая заделка (защемление) (рис. 4.1,в)- не допускает ни линейных перемещений, ни поворота.В защемлении действуют две составляющие опорной реакции - R Ax , R Ay и реактивный момент М А.

а) б) в)

Рис. 4.1

Двухопорные балки имеют две опоры – одна опора шарнирно-неподвижная, вторая – шарнирно-подвижная. Шарнирно-подвижная опора необходима для компенсации перемещений балки при температурных расширениях балки из-за колебаний температуры, а также при возможной подвижке опоры, например, при осадке почвы.

Виды балок

Консоль – выступающая за опору не закрепленная часть балки (рис. 4.2, б, в).

1) Бесконсольные балки 2) Одноконсольные балки 3) Двухконсольные балки

Рис. 4.2

Виды нагрузок

1) Сосредоточенная сила (рис.4.3, а) – F - сила, приложенная в одной точке.

Рис. 4.3

(рис.4.3, б) – нагрузка, равномерно распределенная на некоторой длине l . Характеризуется интенсивностью q , единица измерения- Н/м или кН/м.

При решении задач равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q заменяется одной силой F q = q×l , которая является равнодействующей силой и прикладывается посередине длины l .

3) Пара сил или момент (рис. 4.3, в) – М, Н×м.

Равновесие плоской системы сил

Условие равновесия произвольной плоской системы сил - произвольная плоская система сил находится в равно­весии, когда алгебраические суммы проекций сил на координатные оси и сумма моментов равны нулю:

Первый вид:Второй вид:Третий вид:

SF ix = 0 S F ix = 0 SМ А = 0

SF i у = 0 SМ А = 0 SМ В = 0

SМ о = 0 SМ В = 0 SМ С = 0

Решение задач на определение опорных реакций

Для решения задач надо составить столько уравнений равновесия, сколько неизвестных сил в задаче. Для определения опорных реакций двухопорной балки (R Ax , R Ay и R В) необходимо составить три уравнения равновесия второго вида : SF ix = 0, SМ А = 0, SМ В = 0.

Пример 4.1 . Определить опорные реакции балки, изображенной на рис. 4.4, а , нагруженной парой с моментом М = 10 кН×м, сосредоточенной силой F = 4 кН и распределенной нагрузкой интенсивностью q = 1,5 кН/м.

Эквивалентность: А) 2 пары, имеющие равные моменты, эквивалентны. Пару сил можно перемещать, поворачивать в плоскости действия, перемещать в параллельную плоскость, менять одновременно силу и плечо.

Б) 2 пары, лежащие в одной плоскости, можно заменить на одну пару, лежащую в той же плоскости с моментом, равным сумме моментов этих пар.

M=M(R,R’)=BA ×R =BA ×(F 1 +F 2)=BA ×F 1 +BA ×F 2 . При переносе сил вдоль линии действия момент пары не меняется Þ BA ×F 1 =M 1 , BA ×F 2 =M 2 , M=M 1 +M 2 .

СЛОЖЕНИЕ. 2 пары, лежащие в пересекающихся плоскостях, эквивалентны 1 паре, момент которой равен сумме моментов двух данных пар.

Дано: (F 1 , F 1 ’), (F 2 , F 2 ’)

Доказательство:

Приведем данные силы к плечу АВ – оси пересечения плоскостей. Получим пары:

(Q 1 ,Q 1 ’) и (Q 2 ,Q 2 ’). При этом M 1 =M (Q 1 ,Q 1 ’)=M (F 1 , F 1 ’),

M 2 =M (Q 2 ,Q 2 ’)=M (F 2 , F 2 ’).

Сложим силы R =Q 1 +Q 2 , R’ =Q 1 ’+Q 2 ’. Т. к. Q 1 ’= -Q 1 , Q 2 ’= -Q 2 Þ R = -R ’. Доказано, что система двух пар эквивалентна системе (R ,R ’). M (R ,R ’)=BA ×R =BA ×(Q 1 +Q 2)= BA ×Q 1 +BA ×Q 2 =M (Q 1 ,Q 1 ’)+ M (Q 2 ,Q 2 ’)=M (F 1 ,F 1 ’)+ M (F 2 ,F 2 ’) Þ M =M 1 +M 2 .

УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ:

Система находится в равновесии, если суммарный момент всех пар сил, действующих на тело, равен нулю.

M 1 +M 2 +…+M n =0.

Билет №2.

1. Координатный способ задания движения точки (прямоугольная декартова система координат). Траектория, скорость, ускорение точки.
2. Аксиомы статики.

Декартова система координат.

Вектор r можно разложить по базису I , j , k : r =xi +yj +zk .

Движение материальной точки полностью определено, если заданы три непрерывные и однозначные функции от времени t: x=x(t), y=y(t), z=z(t), описывающие изменение координат точки со временем. Эти уравнение называются кинематическими уравнениями движения точки. Радиус-вектор r является функцией переменных x, y, z, которые, в свою очередь, являются функциями времени t. Поэтому производная r ׳(t) может быть вычислена по правилу

dr /dt=∂r /∂x∙dx/dt+∂r /∂y∙dy/dt+∂r /∂z∙dz/dt.

Отсюда вытекает, что v =v x i +v y j +v z k.

V=√ (v x ²+v y ²+v z ²)

Ускорением точки в данный момент времени назовем вектор а , равный производной от вектора скорости v по времени. А =x׳׳(t)I +y׳׳(t)j +z׳׳(t)k .

А=√((x׳׳(t))²+(y׳׳(t))²+(z׳׳(t))²)

Аксиомы статики.

1) 2 силы, приложенные к абс. твердому телу будут эквивалентны 0 тогда и только тогда, когда они равны по модулю, действуют на одной прямой и направлены в противоположные стороны.

2) Действие данной системы сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к ней добавить или отнять систему сил, эквивалентную 0 => точку приложения силы можно переносить вдоль линии её действия.

3) Если к телу приложены 2 силы, исходящие из одной точки, то их можно заменить равнодействующей (любую силу можно разложить на составляющие бесконечное число раз).

4) Силы взаимодействия двух тел равны по модулю и противоположны по направлению.

Действие связей можно заменить действием сил – реакций связи.

Билет №3.

1. Естественный способ задания движения точки. Траектория, скорость, ускорение точки.
2. Алгебраический и векторный момент силы относительно точки.

Естественный способ.

Если задана траектория движения точки, выбрано начало и положительное направление отсчета и известна S=S(t) зависимость пути от времени, то такой способ задания движения точки называется естественным. V=dr /dt∙dS/dS=S׳(t)∙dr /dS=S׳(t)∙τ = =v τ ∙τ. Dr /dS=τ . Τ направлена всегда в «+» направлении отсчета S.

A =dv /dt=S׳׳(t)∙τ +S׳(t)∙dτ /dt=S׳׳∙τ+ (S׳)²n /ρ. A τ =S׳׳-тангенциальное ускорение, a n =(S׳)²/ρ-нормальное (центростремительное) ускорение, ρ-радиус кривизны.

A=√((a τ)²+(a n)²).

Векторный и алгебраический момент пары сил.

Алгебраический момент M=±F∙d (пара). M=±dF 1 =±dF 2 =±2S ΔABC = ±S ٱ . Он не меняется при перемещении сил вдоль линии их действия (ни плечо, ни направление вращения не меняются).

Векторный момент – вектор M =M (F ,F’ ), направлен перпендикулярно плоскости пары в ту сторону, откуда видно стремление пары повернуть тело против часовой хода стрелки, его модуль равен алгебраическому моменту пары.

M (F 1 ,F 2)=BA xF 1 =AB xF 2 .

Моменты относительно точки.

Алгебраическим моментом силы F относительно точки О называется взятое со знаком «+» или «-» произведение |F | на её плечо: M O (F )=±Fh=±2S ΔOAB ∙ M O (F). «+» - против часовой стрелки. Характеризует вращательный эффект F .

Свойства:

А) Не меняется при переносе точки приложения вдоль линии действия силы. (т.к. |F |sinα= const).

Б) Ь=0 если т. О лежит на линии действия силы.

Плоскость действия M – через F и O.

Векторный момент силы F относительно точки О – вектор M O (F )=r xF (r – радиус- вектор из А в О). |M O (F )|=|F |∙|r |∙sinα=Fh.

M O (F )= x A y A z A =>

ð M Ox (F )=yF z -zF y

ð M Oy (F )=zF x -xF z

M Oz (F )=xF y -yF x

Билет №4.

1. Координатный способ задания движения точки (полярная система координат). Траектория, скорость, ускорение точки.
2. Пара сил. Теорема о сумме моментов сил, составляющих пару, относительно произвольной точки.

Полярные координаты

Ox – полярная ось, φ – полярный угол, r – полярный радиус. Если задан закон r=r(t), φ=φ(t), то задано движение в полярной системе координат. Пусть r =rº r, rº - единичный вектор, pº┴rº - единичный вектор. Тогда v =dr /dt=r׳rº +

rdrº /dt=r׳rº +rφ׳pº =v r rº +v p pº. v p и v r – трансверсальная и радиальная составляющая скорости. A =dv /dt=d(r׳rº +rφ׳pº )/ dt=r׳׳rº +r׳ drº /dt+r׳φ׳pº +rφ׳׳pº +rφ׳∙

dpº /dt=(r׳׳-(rφ׳)²)rº +(rφ׳׳+2r׳φ׳)pº = a r ∙rº +a p pº .

r²=x²+y², φ=arctg(y/x).

Система пар сил, действующая на тело, эквивалентна одной паре сил, момент которой равен алгебраической сумме моментов составляющи х пар.

Пусть на твердое тело действуют три пары сил (Р1, Р1 ′ ), (Р2, Р2 ′ ), (Р3, Р3 ′ ) (рис. 5. 9), расположенные в одной плоскости. Моменты этих пар:

М 1 = Р 1 . d 1 , М 2 = Р 2 . d 2, М 3 = - Р 3 . d 3

Выберем произвольный отрезок АВ дли ной d в той ж е п лоскости и заменим заданные пары эквивалентными (Q1, Q1 ′ ), (Q2, Q2 ′ ), (Q3, Q3 ′ ) с общим плечом d.

Найдем модули сил эквивалентных пар из соотношений

М1 = Р1 . d1 = Q1 . d, М2 = Р2 . d2 = Q2 . d, М3 = - Р3 . d3 = - Q3 . d .

Сложим силы, приложенные к концам отрезка АВ и найдем модуль их равнодействующей:

R = Q1 + Q2 - Q3

R′ = - R = (-Q′ 1 - Q′ 2 + Q′ 3 )

Равнодействующие R и R′ составляют результирующую пару эквивалентную системе заданных пар.

Момент этой пары:

М = R . d = (Q1 + Q2 - Q3 ) d = Q1 . d + Q2 . d - Q3 . d = М1 + М2 + М3

Если на тело действует «n» пар, то момент результирующей пары равен алгебраической сумме моментов составляющих пар:

М = ∑ Мi

Уравновешивающей называется пара, момент которой равен по абсолютной величине моменту результирующей пары, но противоположен по направлению.

Пример 5.1

Определить момент результирующей пары для трех заданных пар (рис. 5.

10, а), если Р1 = 10 кН, Р2 = 15 кН, Р3 = 20 кН, d1 = 4 м, d2 = 2 м, d3 = 6 м.

Определяем момент каждой пары сил:

М1 = 10 Н . 4 м = 40 Нм М2 = - 15 Н . 2 м = - 30 Нм М3 = - 20 Н . 6 м = - 120 Нм

М = ∑ Мi = М1 + М2 + М3 = 40 – 30 – 120 = - 110 Нм

Пример 5. 2

На раму (рис. 5. 10, б) действуют три пары сил (Р1, Р1 ′ ), (Р2, Р2 ′ ), (Р3, Р3 ′ ), приложенных в точках А1 , А2 , А3 соответственно. Определить момент

результирующей пары, если Р1 = 10 Н, Р2 = 15 Н, Р3 = 20 Н, а плечи пар сил d1 =

0,4 м, d2 = 0,2 м, d3 = 0,6 м.

Определяем моменты пар сил:

М1 = Р1 . d1 = 10 . 0,4 = 4 Нм М2 = - Р2 . d2 = - 15 . 0,2 = - 3 Нм М3 = - Р3 . d3 = - 20 . 0,6 = - 12 Нм

Определяем момент результирующей пары:

М = ∑ Мi = М1 + М2 + М3 = 4 – 3 – 120 = - 11 Нм

Пример 5. 3

На балку (рис. 5. 10, в) действуют три пары сил (Р1, Р1 ′ ), (Р2, Р2 ′ ), (Р3, Р3 ′ ), приложенных в точках А1 , А2 , А3 . Определить момент результирующей пары,

если Р1 = 2 кН, Р2 = 3 кН, Р3 = 6 кН, а плечи пар сил d1 = 0,2 м, d2 = 0,4 м, d3 = 0,3 м.

Определяем моменты пар сил:

М1 = - Р1 . d1 = - 2 . 0,2 = - 0,4 кНм М2 = - Р2 . d2 = - 3 . 0,4 = - 1,2 кНм М3 = Р3 . d3 = 6 . 0,3 = 1,8 кНм

Определяем момент результирующей пары:

М = ∑ Мi = М1 + М2 + М3 = - 0,4 – 1,2 + 1,8 = 0,2 кНм

Пример 5. 4

Определить моменты результирующих пар, действующих на рамы (рис. 5. 10, г, д, е) самостоятельно.

Результаты решения:
			М = - 50 кНм
			М = - 80 кНм
Рис. 5. 10, е

									P3 "Е
М1 = 10кНм	М2 = 20кНм
									М2 = 40кНм
	М3 = 40кНм
		М1 = 10кНм			М4 = 80кНм

5. 5. Сложение пар сил в пространстве

Теорема. Система пар сил, действующая на твердое тело, эквивалентна одной паре сил, момент которой равен геометрической сумме моментов составляющих пар.

Доказательство

Докаж ем те орему для двух пар сил, плоскости действия которых I и II, а моменты М1 и М2 (рис. 5. 11, а). Преобразуем пары сил так, чтобы плечами их был отрезок АВ , лежащ ий на линии пересечения плоскостей. Получим две пары сил (Р1, Р1 ′ ) и (Q2, Q2 ′ ), имеющих одинаковые плечи и измененные соответствующим образом модули сил, которые найдем из соотношений

М 1 = Р1 . АВ

М2 = Q1 . АВ

Сложив силы, приложенные в точках А и В, найдем их равнодействующие

R = Р1 + Q1

R′ = Р1 ′ + Q1 ′

Параллелограммы сил равны и л ежат в параллельных плоскостях. Следовательно, равнодействующие R и R′ равны по модулю, параллельны и направлен ы в противоположные стороны, т.е. составляют результирующую пару (R, R′ ).

Найдем момент этой пары:

М = r х R = АВ х R = АВ х (Р1 + Q1 ) = АВ х Р1 + АВ х Q1 = М1 + М 2

Следовательно, момент пары М равен геометрической сумме моментов М1 и М2 и изображается диагональю параллелограмма, построенного на векторах М1 и М2.

Если на твердое тело действует «n» пар сил с моментами М1 , М2 … Мn , то результирующая пара будет иметь момент, равный геометрической сумме моментов этих пар

М = ∑ Мi

5. 6. Условия равновесия системы пар сил

Для равновесия пар сил на плоскости необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма моментов всех пар была равна нулю

∑ Мi = 0

Для равновесия пар сил в пространстве необходимо и достаточно, чтобы геометрическая сумма моментов всех пар была равна нулю

∑ Мi = 0

Пример 5. 5

Определить опорные реакции RА и RВ балки (рис. 5. 11, б), находящейся под действием двух пар сил, используя условия равновесия пар сил на плоскости.

1) Определим момент результирующей пары сил

М = М1 + М2 = - 40 + 30 = - 30 кНм По скольку пара сил может быть уравновешена только парой, то реакции

RА и RВ должны составить пару сил. Линия действия реакции RВ определена (перпендикулярна опорной поверхн ости), линия действия реакции RА параллельна линии действия реакции RВ .

Примем направления реакций в соответствии с рис. 5. 11, б .

2) Определим момент уравновешивающей пары сил (R А , RВ )

М (R А , RВ ) = МR = RА . АВ = RВ . АВ

3) Определим опорные реакции из условия равновесия пар сил

∑ Мi = 0 М + МR = 0

30 + RА . 6 = 0

RА = 5 кН; RВ = RА = 5 кН

Парой сил называется система двух равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны сил, действующих на абсолютно твердое тело.

Теорема о сложении пар сил . Две пары сил, действующих на одно и то же твердое тело, и лежащие в пересекающихся плоскостях, можно заменить одной эквивалентной парой сил, момент которой равен сумме моментов заданных пар сил.

Доказательство: Пусть имеются две пары сил, расположенные в пересекающихся плоскостях. Пара сил в плоскости характеризуется моментом, а пара сил в плоскости характеризуется моментом.Расположим пары сил так, чтобы плечо пар было общим и располагалось на линии пересечения плоскостей. Складываем силы, приложенные в точке А и в точке В, . Получаем пару сил.

Условия равновесия пар сил.

Если на твердое тело действует несколько пар сил, как угодно расположенных в пространстве, то последовательно применяя правило параллелограмма к каждым двум моментам пар сил, можно любое количество пар сил заменить одной эквивалентной парой сил, момент которой равен сумме моментов заданных пар сил.

Теорема. Для равновесия пар сил, приложенных к твердому телу, необхо-димо и достаточно, чтобы момент эквивалентной пары сил равнялся нулю.

Теорема. Для равновесия пар сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций моментов пар сил на каждую из трех координатных осей была равна нулю.

20.динамические дифференциальные уравнения относительно движения материальной точки. Динамическая теорема Кориолиса

Дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки.

Для вывода уравнений воспользуемся второй и четвертой аксиомами динамики. Согласно второй аксиоме ma = F (1)

где, по четвертой аксиоме, F является равнодействующей всех сил, приложенных к точке.

С учетом последнего замечания выражение (1) часто называют основным уравнением динамики. По форме записи оно представляет собой второй закон Ньютона, где одна сила, согласно аксиоме независимости действия сил, заменена равнодействующей всех сил, приложенных к материальной точке. Вспомнив, что a = dV / dt = d2r / dt = r"", получаем из (1) дифференциальное уравнение движения материальной точки в векторной форме: mr"" = F (2)

дифференциальные уравнения движения несвободной материальной точки .

Согласно аксиоме связей, заменив связи их реакциями, можно рассматривать несвободную материальную точку, как свободную, находящуюся под действием активных сил и реакций связей.согласно четвертой аксиоме динамики, F будет равнодействующей активных сил и реакций связей.

Поэтому дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки можно использовать для описания движения несвободной точки, помня о том, что проекции сил на прямоугольные оси Fx, Fy, Fz в уравнениях (4) и проекции сил на естественные оси Fτ, Fn, Fb в уравнениях (6) включают в себя не только проекции активных сил, но и проекции реакций связей.

Наличие реакций связей в уравнениях движения точки естественно усложняет решение задач динамики, так как в них появляются дополнительные неизвестные. Для решения задач нужно знать свойства связей и иметь уравнения связей, которых должно быть столько, сколько реакций связей.

Сила Кориолиса равна:

где m - точечная масса, w - вектор угловой скорости вращающейся системы отсчёта, v- вектор скорости движения точечной массы в этой системе отсчёта, квадратными скобками обозначена операция векторного произведения.

Величина называется кориолисовым ускорением.

Си́лаКориоли́са - одна из сил инерции, существующая в неинерциальной системе отсчёта из-за вращения и законов инерции, проявляющаяся при движении в направлении под углом к оси вращения

Пара сил - совокупность двух параллельных друг другу сил равных по величине и направленных в противоположные стороны. Пара сил не может быть более упрощена (заменена одной силой) и представляет собой новую силовую характеристику механического взаимодействия.

Теорема о моменте пары сил. Момент пары сил не зависит от выбора центра привидения и равен произведению любой из сил пары на плечо пары, взятый со знаком «+» при вращении пары против часовой стрелки или со знаком «-» при вращении по часовой.

Плечо пары сил - длина перпендикуляра опущенного из любой точки линии действия одной силы к линии действия другой силы этой пары.

Теорема об эквивалентности пар сил в плоскости. Пары сил, лежащие в одной плоскости, эквивалентны, если их моменты численно равны и одинаковы по знаку.

Следствие. Пару сил, не изменяя ее действие на твердое тело, можно переносить в любое место в плоскости ее действия, поворачивать ее плечо на любой угол, а также изменять это плече и модули сил, не изменяя величины ее момента и направления вращения. Следовательно, основной характеристикой пары сил является ее момент.

Теорема об эквивалентности пар сил в пространстве. Пары сил в пространстве эквивалентны, если их моменты геометрически равны.

Следствие. Не изменяя действия пары сил на твердое тело, пару сил можно переносить в любую плоскость, параллельную плоскости ее действия, а также изменять ее силы и плечо, сохраняя неизменным модуль и направление ее момента. Вектор момента пары сил можно переносить в любую точку, т.е. момент пары сил является свободным вектором. Вектор момента пары сил определяет все три ее элемента: положение плоскости действия пары, направление вращения и числовое значение момента.

Теорема о сложении пар сил на плоскости. Систему пар сил можно заменить парой сил, момент которой равен алгебраической сумме моментов исходных пар. Кинематическое состояние тела не изменяется.

Условие равновесия системы пар сил:

Статические инварианты и динамические винты

Инварианты системы сил - величины, не зависящие от выбора центра приведения. Первый векторный инвариант - главный вектор системы сил .

Главный момент не является инвариантом т.к. зависит от центра привидения. Однако существует величина, связанная с главным вектором и не зависящая от центра приведения. Однако существует величина, связанная с главным вектором и не зависящая от центра привидения:

1)

3) .

Второй скалярный инвариант - скалярное произведение главного вектора на вектор главного момента.

.

Главный минимальный момент также инвариантная величина:

.

Динамический винт - совокупность действующих на тело силы F и пары сил с моментом М , лежащей в плоскости перпендикулярной силе F. К динамическому винту приводится в наиболее общем случае произвольная система сил, действующих на тело. Дальнейшее упрощение динамического винта не возможно, т.е. его нельзя заменить одной силой и одной парой сил. Можно лишь сложив F с одной из сил пары привести его к двум скрещивающимся силам.